ALES’te geometri: görsel mantık ve temel kurallar
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı (ALES) Sayısal bölümünde (50 soru) geometri soruları da yer alır. ALES geometrisi aşırı karmaşık çizimler yerine, temel teoremleri görebilme, gizli dik üçgenleri ortaya çıkarma ve benzerlik bağıntılarını hızla kurabilme becerisini ölçer.
Geometride en etkili çözüm yöntemi şekle fazladan doğru çizgisini (yardımcı doğru) nereden çekeceğini bilmektir. Çoğu soruda köşeden indirilen tek bir dikme veya çizilen bir paralel doğru tüm kilitleri açar.
KısayolSoruda tıkanıyorsan özel açılı (30°, 45°, 60°) köşelerin karşısına hemen dikme indirerek özel dik üçgen oluştur.
| Açı Kuralı | Görünüm | Eşitlik Bağıntısı |
|---|---|---|
| Z Kuralı (İç Ters) | Paralel iki doğru arasında Z şekli | İçte kalan ters açılar birbirine eşittir (a = b) |
| U Kuralı (Karşı Durumlu) | Paralel iki doğru arasında U şekli | İç açıların toplamı 180 derecedir (a + b = 180°) |
| M Kuralı | Paraleller arasında zikzak M şekli | Bir yöne bakan açıların toplamı öbür yöne bakan açıların toplamına eşittir |
| Bumerang Kuralı | İçbükey dörtgen şekli | İçteki üç açının toplamı dıştaki açıya eşittir |
Herhangi bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derece, dış açıları toplamı ise bütün çokgenlerde olduğu gibi daima 360 derecedir.
Özel dik üçgenler ve Öklid bağıntıları
Dik üçgen geometrinin kalbidir. Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: a² + b² = c² (Pisagor Teoremi).
| Özel Üçgen | Kenar Oranları | Sık Çıkan Katları |
|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 Üçgeni | 3k, 4k, 5k | 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20 |
| 5 – 12 – 13 Üçgeni | 5k, 12k, 13k | 10-24-26 |
| 8 – 15 – 17 Üçgeni | 8k, 15k, 17k | 16-30-34 |
| 7 – 24 – 25 Üçgeni | 7k, 24k, 25k | 14-48-50 |
| 30° – 60° – 90° Üçgeni | 30° karşısı k ise; 60° karşısı k√3, 90° karşısı 2k | Eşkenar üçgenin dikmeyle ikiye bölünmüş hâlidir |
| 45° – 45° – 90° Üçgeni | k, k, k√2 | Karenin köşegenle ikiye bölünmüş hâlidir |
Örnek. Hipotenüsü 13 cm, bir dik kenarı 5 cm olan bir dik üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?
- Özel 5-12-13 üçgeninden dolayı diğer dik kenar 12 cm’dir.
- Dik üçgende alan dik kenarların çarpımının yarısıdır: Alan = (a · b) / 2
- Alan = (5 · 12) / 2 = 60 / 2 = 30 cm² bulunur.
Cevap30 cm²
Dik açıdan hipotenüse dikme indirildiğinde Öklid bağıntıları doğar: Yüksekliğin karesi tabanda ayırdığı parçaların çarpımına eşittir: h² = p · k.
Öklid formülü«Dikten dik iniyorsa Öklid vardır»: h² = p · k bağıntısını hemen hatırla.
Üçgende benzerlik ve alan ilişkisi
İki üçgenin karşılıklı açıları eşitse bu üçgenler benzerdir. Karşılıklı kenarlar arasındaki orana benzerlik oranı (k) denir.
Benzerlikte en sık kullanılan kural: İki benzer üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine (k²) eşittir. Çevreleri oranı ise doğrudan k’ya eşittir.
| Benzerlik Oranı (k) | Çevreleri Oranı | Alanları Oranı (k²) |
|---|---|---|
| k = 1/2 | 1/2 | 1/4 (Orta tabanda üst üçgen S, alt yamuk 3S) |
| k = 2/3 | 2/3 | 4/9 |
| k = 3/4 | 3/4 | 9/16 |
Örnek. İki benzer üçgenin benzerlik oranı 2/3’tür. Küçük üçgenin alanı 24 cm² olduğuna göre büyük üçgenin alanı kaç cm²’dir?
- Benzerlik oranı k = 2/3 ise alanlar oranı k² = (2/3)² = 4/9 olur.
- Alan_küçük / Alan_büyük = 4/9
- 24 / Alan_büyük = 4/9 ⇒ Alan_büyük = (24 · 9) / 4 = 54 cm² bulunur.
Cevap54 cm²
Çokgenler, dörtgenler ve yamuk
n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı (n − 2) · 180° formülüyle hesaplanır. Bütün düzgün çokgenlerin bir dış açısı ise 360° / n formülüyle bulunur.
| Dörtgen / Çokgen | Alan Formülü | Önemli Köşegen Özelliği |
|---|---|---|
| Paralelkenar | Taban · Yükseklik (a · h) | Köşegenler birbirini ortalar |
| Eşkenar Dörtgen | (e · f) / 2 (Köşegenler çarpımının yarısı) | Köşegenler birbirine diktir ve açıortaydır |
| Yamuk | ((Alt Taban + Üst Taban) / 2) · h | Yalnız iki kenarı birbirine paraleldir |
| Düzgün Altıgen | 6 · (a²√3 / 4) | 6 adet eşkenar üçgenden oluşur |
KısayolDüzgün çokgen sorularında iç açı formülüyle uğraşma; önce dış açıyı bul (360/n), sonra 180’den çıkar.
Çember, daire ve katı cisimler
Yarıçapı r olan bir dairenin çevresi 2πr, alanı πr² formülüyle bulunur. Merkez açısı α olan bir daire diliminin alanı ise (α / 360°) · πr² ile hesaplanır.
Çemberde çember merkezinden teğet noktasına çizilen yarıçap, teğet doğrusuna her zaman diktir (90°). Bu özellik teğet sorularını dik üçgen problemine dönüştürür.
| Katı Cisim | Hacim Formülü | Yüzey Alanı Formülü |
|---|---|---|
| Küp (ayrıtı a) | V = a³ | A = 6a² |
| Dikdörtgenler Prizması (a, b, c) | V = a · b · c | A = 2(ab + bc + ac) |
| Silindir (yarıçap r, boy h) | V = πr²h | A = 2πr² + 2πrh |
Testten önce bunları bil
- Benzerlikte alan karedir
Benzerlik oranı 1/2 ise alanlar oranı 1/4’tür; karesini almayı asla unutma.
- Dış açıdan iç açıya git
Düzgün çokgende bir dış açı 360/n’dir; 180’den çıkararak iç açıyı hızla bulursun.
- Teğet noktasına yarıçap çiz
Çemberde teğet gördüğün an merkezden dikme indir; hemen dik üçgen kur.
- 30-60-90 kuralını ezberle
30’un karşısı hipotenüsün yarısı, 60’ın karşısı ise bu yarının √3 katıdır.
Kendini dene
Cevaba dokun — neden öyle olduğunu birlikte görelim.
Bir ABC üçgeninde m(A) = 70° ve m(B) = 55° olduğuna göre C açısının ölçüsü kaç derecedir?
Bir dik üçgende 30 derecelik açının karşısındaki kenar uzunluğu 6 cm olduğuna göre hipotenüsün uzunluğu kaç cm’dir?
Hipotenüse ait yüksekliği h olan bir dik üçgende, yükseklik hipotenüsü 4 cm ve 9 cm uzunluğunda iki parçaya ayırmaktadır. h kaç cm’dir?
Bir kenar uzunluğu 8 cm olan bir eşkenar üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?
Alt tabanı 14 cm, üst tabanı 6 cm ve yüksekliği 5 cm olan bir yamuğun alanı kaç cm²’dir?
Bir düzgün sekizgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
Yarıçapı 6 cm olan bir dairede merkez açısı 60 derece olan daire diliminin alanı kaç π santimetrekaredir?
Bir ayrıtının uzunluğu 4 cm olan küpün hacmi kaç santimetreküptür?
Çevresi 28 cm olan bir dikdörtgenin bir kenarı diğer kenarından 2 cm uzundur. Bu dikdörtgenin alanı kaç cm²’dir?
Yarıçapı 5 cm olan bir çembere, merkezinden 13 cm uzaklıktaki dış bir noktadan teğet çiziliyor. Teğet parçasının uzunluğu kaç cm’dir?
Alıştırma bitti — –
Bütün konular ALES · YDS müfredatında.
0/10 · soru cevaplandı