Temel alan formülü: Taban ve yükseklik
Bir üçgensel bölgenin alanı, bir kenar uzunluğu (taban) ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
Temel alan formülüAlan(ABC) = (a · h_a) / 2 = (b · h_b) / 2 = (c · h_c) / 2
| Üçgen türü | Yüksekliğin konumu | Alan formülü |
|---|---|---|
| Dar açılı üçgen | Üçgenin iç bölgesindedir | Alan = (Taban × Yükseklik) / 2 |
| Dik üçgen | Dik kenarların kendisidir | Alan = (Dik kenarların çarpımı) / 2 = (b · c) / 2 |
| Geniş açılı üçgen | Geniş açıyı oluşturan kenarlara ait yükseklikler üçgenin DIŞINDADIR | Alan = (Kenar × Dışarıdaki yükseklik) / 2 |
Geniş açılı üçgenlerde taban kenarının uzantısına dışarıdan inen dikme o kenarın yüksekliğidir; alan hesaplanırken kenar uzunluğu ile dış yükseklik çarpılır, uzantı tabana eklenmez.
Örnek. Taban uzunluğu 14 cm ve bu tabana ait yüksekliği 9 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²’dir?
- Temel alan formülü uygulanır: A = (Taban × Yükseklik) / 2.
- A = (14 × 9) / 2.
- A = 126 / 2 = 63 cm² bulunur.
CevapAlan = 63 cm²
Sinüslü alan ve eşkenar üçgenin alanı
Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasında kalan açının ölçüsü biliniyorsa sinüslü alan formülü kullanılır.
Sinüslü alan formülüAlan(ABC) = (1/2) · a · b · sin(C) = (1/2) · a · c · sin(B) = (1/2) · b · c · sin(A)
| Özel açı (α) | sin(α) değeri | Geniş açı bütünleri | sin değeri |
|---|---|---|---|
| 30° | 1 / 2 | 150° (180° − 30°) | 1 / 2 (sinüsleri eşittir) |
| 45° | √2 / 2 | 135° (180° − 45°) | √2 / 2 |
| 60° | √3 / 2 | 120° (180° − 60°) | √3 / 2 |
| 90° | 1 | 90° | 1 (dik üçgen formülü çıkar) |
Bütün kenarları eşit ve iç açıları 60° olan eşkenar üçgenin bir kenarı a ise alanı özel olarak şöyle hesaplanır:
Eşkenar üçgen alanıAlan = (a² · √3) / 4 · Yükseklik h = (a · √3) / 2
Örnek. ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 10 cm ve m(A) = 30° olduğuna göre bu üçgenin alanı kaç cm²’dir?
- Sinüslü alan formülü: Alan = (1/2) · |AB| · |AC| · sin(A).
- Alan = (1/2) · 8 · 10 · sin(30°).
- sin(30°) = 1/2 değerini yerine yazarız.
- Alan = (1/2) · 8 · 10 · (1/2) = 20 cm² bulunur.
CevapAlan = 20 cm²
Örnek. Bir kenar uzunluğu 6 cm olan bir eşkenar üçgenin alanını hesaplayın.
- Eşkenar üçgen alan formülü: A = (a²√3) / 4.
- a = 6 cm yerine yazılır: A = (6² · √3) / 4 = (36 · √3) / 4.
- A = 9√3 cm² elde edilir.
CevapAlan = 9√3 cm²
Heron formülü ve çember yarıçapı ile alan
Yüksekliği bilinmeyen fakat üç kenar uzunluğu da (a, b, c) belli olan üçgenlerin alanı Heron formülü ile bulunur.
Heron formülüu = (a + b + c) / 2 (yarı çevre) ⇒ Alan = √[ u · (u − a) · (u − b) · (u − c) ]
| Yöntem / Bağıntı | Gerekli bilgiler | Alan formülü |
|---|---|---|
| Heron bağıntısı | Üç kenar uzunluğu (a, b, c) | Alan = √[ u(u − a)(u − b)(u − c) ] |
| İç teğet çember yarıçapı (r) | Yarı çevre u ve yarıçap r | Alan = u · r |
| Çevrel çember yarıçapı (R) | Üç kenar (a, b, c) ve yarıçap R | Alan = (a · b · c) / (4R) |
Örnek. Kenar uzunlukları 5 cm, 6 cm ve 7 cm olan bir üçgenin alanını Heron formülüyle hesaplayın.
- Yarı çevre u bulunur: u = (5 + 6 + 7) / 2 = 18 / 2 = 9 cm.
- u − a = 9 − 5 = 4 cm.
- u − b = 9 − 6 = 3 cm.
- u − c = 9 − 7 = 2 cm.
- Alan = √[ 9 × 4 × 3 × 2 ] = √216 = √(36 × 6) = 6√6 cm² bulunur.
CevapAlan = 6√6 cm²
Alan parçalama kuralları ve benzerlik
Tepe noktası ortak ve tabanları aynı doğru üzerinde olan üçgenlerin yükseklikleri eşit olduğundan alanları taban uzunlukları ile doğru orantılıdır.
| Geometrik durum | Alan paylaşımı kuralı |
|---|---|
| Yükseklikleri eşit iki üçgen | Tabanlar x ve y ise alanlar x ve y ile orantılıdır: Alan₁ / Alan₂ = x / y. |
| Kenarortay çizildiğinde | Kenarortay tabanı iki eşit parçaya böldüğünden alanı da iki eşit parçaya böler. |
| Ağırlık merkezi (G) birleştiğinde | G noktası köşelerle birleştirilirse üç eşit alan oluşur: Alan(ABG) = Alan(BCG) = Alan(ACG). |
| Üç kenarortay çizildiğinde | Üçgenin alanı 6 tane eşit alanlı küçük üçgene ayrılır. |
| Benzer iki üçgende | Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: Alan₁ / Alan₂ = k². |
Örnek. ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerindedir. |BD| = 4 cm, |DC| = 6 cm ve Alan(ABD) = 24 cm² olduğuna göre Alan(ADC) kaç cm²’dir?
- ABD ve ADC üçgenlerinin A tepe noktası ortak olduğundan yükseklikleri eşittir.
- Alanlar tabanlarla orantılıdır: Alan(ABD) / Alan(ADC) = |BD| / |DC|.
- 24 / Alan(ADC) = 4 / 6 = 2 / 3.
- 2 · Alan(ADC) = 24 × 3 = 72 ⇒ Alan(ADC) = 36 cm² bulunur.
CevapAlan(ADC) = 36 cm²
Testten önce bunları bil
- Geniş açılı üçgende yükseklik dışarıdadır
Geniş açılı üçgenlerde dikme üçgenin taban uzantısına dışarıdan iner; taban olarak yalnızca üçgenin kendi kenarını alın, uzantıyı tabana eklemeyin.
- Bütünler açıların sinüsleri eşittir
sin(180° − α) = sin α: sin 150° = sin 30° = 1/2, sin 120° = sin 60° = √3/2. Sinüslü alan formülünde geniş açıyı bu eşitlikle hesapla.
- Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir
Benzerlik oranı k = 2/3 olan iki üçgenin çevreleri oranı 2/3 iken alanları oranı karesi olan 4/9’dur.
- Kenarortay alanı ikiye böler
Kenarortay tabanı iki eşit parçaya ayırdığı için tepe noktası ortak iki parçanın alanları birbirine daima eşittir.
Kendini dene
Cevaba dokun — neden öyle olduğunu birlikte görelim.
Tabanı 12 cm ve bu tabana ait yüksekliği 8 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²’dir?
Dik kenar uzunlukları 6 cm ve 14 cm olan bir dik üçgenin alanı kaç cm²’dir?
Bir kenar uzunluğu 8 cm olan bir eşkenar üçgenin alanı kaç cm²’dir?
ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm ve B açısının ölçüsü 150° olduğuna göre Alan(ABC) kaç cm²’dir?
Bir ABC üçgeninde [AD] kenarortaydır. Alan(ABC) = 60 cm² olduğuna göre Alan(ABD) kaç cm²’dir?
ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. Alan(ABG) = 14 cm² olduğuna göre Alan(ABC) kaç cm²’dir?
Geniş açılı bir üçgende geniş açıyı oluşturan kenarlara ait yükseklikler geometrik olarak nerede yer alır?
Benzer iki üçgenin benzerlik oranı k = 3 / 5 olduğuna göre alanları oranı kaçtır?
Çevresi 24 cm olan bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı r = 3 cm olduğuna göre alanı kaç cm²’dir?
Tepe noktası ortak ve tabanları aynı doğru üzerinde olan iki üçgenin alanları oranı, taban uzunlukları oranına eşittir. Bu kuralın sebebi nedir?
Alıştırma bitti — –
Bütün konular Geometri müfredatında.
0/10 · soru cevaplandı