Merkezî eğilim ölçüleri: Ortalama, medyan ve mod
Araştırma, gözlem veya deneyler sonucunda elde edilen sayısal bilgilere veri denir. Bir veri grubunun genel durumunu özetleyen ve verilerin etrafında toplandığı merkezî noktayı belirleyen değerlere merkezî eğilim ölçüleri adı verilir.
| Ölçü | Tanımı | Nasıl hesaplanır? | Önemli özelliği |
|---|---|---|---|
| Aritmetik ortalama (x̄) | Verilerin toplamının veri sayısına oranıdır | x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n | Aşırı büyük veya küçük uç değerlerden çok çabuk etkilenir. |
| Medyan (Ortanca) | Küçükten büyüğe dizilmiş verilerin tam ortasındaki değerdir | n tek ise ortadaki sayı; n çift ise ortadaki iki sayının ortalaması | Aşırı uç değerlerden etkilenmez; gelir dağılımı gibi verilerde en güvenilir ölçüdür. |
| Mod (Tepe değer) | Veri grubunda en çok tekrar eden (frekansı en yüksek) değerdir | En çok tekrarlanan sayı bulunur | Birden fazla mod olabilir; tüm veriler eşit sayıda geçmişse mod yoktur. |
KısayolMedyan hesaplanırken veriler MUTLAKA küçükten büyüğe sıralanmalıdır; sırasız verilen diziden medyan bulunamaz.
Örnek. Bir öğrencinin yedi farklı deneme sınavından aldığı netler şöyledir: 30, 40, 50, 50, 50, 60, 70. Bu veri grubunun aritmetik ortalamasını, medyanını ve modunu bulun.
- Aritmetik ortalama: Toplam net = 30 + 40 + 50 + 50 + 50 + 60 + 70 = 350. x̄ = 350 / 7 = 50.
- Veriler zaten küçükten büyüğe sıralıdır. 7 terim olduğundan tam ortadaki 4. terim medyandır: Medyan = 50.
- En çok tekrar eden değer 50’dir (3 kez tekrarlanmıştır): Mod = 50.
CevapOrtalama = 50 · Medyan = 50 · Mod = 50
Merkezî yayılım ölçüleri: Açıklık ve standart sapma
Verilerin birbirinden ne kadar farklılaştığını, merkezin etrafında nasıl dağıldığını gösteren değerlere merkezî yayılım ölçüleri denir.
| Ölçü | Tanımı | Formülü | Yorumu |
|---|---|---|---|
| Açıklık (Ranj) | En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır | Açıklık = En büyük değer − En küçük değer | Hesaplanması en kolay yayılım ölçüsüdür ancak yalnızca uç noktalara bakar. |
| Çeyrekler açıklığı | Üst çeyrek (Q₃) ile alt çeyrek (Q₁) arasındaki farktır | Çeyrekler açıklığı = Q₃ − Q₁ | Uç değerlerin etkisinden arındırılmış yayılım ölçüsüdür. |
| Standart sapma (s) | Verilerin aritmetik ortalamadan farklarının kareleri toplamının (n − 1)’e bölümünün kareköküdür | s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ] | Verilerin homojenliğini, istikrarını ve risk durumunu gösterir. |
Standart sapma yorumuStandart sapma küçükse: Grup homojendir, öğrenciler birbirine yakın puan almıştır, başarı istikrarlıdır, risk düşüktür.
Örnek. Bir basketbolcunun son 5 maçta attığı sayılar 8, 10, 10, 10, 12’dir. Bu veri grubunun standart sapmasını bulun.
- 1. Adım: Aritmetik ortalama hesaplanır: x̄ = (8 + 10 + 10 + 10 + 12) / 5 = 50 / 5 = 10.
- 2. Adım: Her verinin ortalamadan farkının kareleri toplanır: (8 − 10)² = 4, (10 − 10)² = 0, (10 − 10)² = 0, (10 − 10)² = 0, (12 − 10)² = 4. Toplam = 4 + 0 + 0 + 0 + 4 = 8.
- 3. Adım: Toplam, veri sayısının bir eksiğine (n − 1) bölünür: 8 / (5 − 1) = 8 / 4 = 2.
- 4. Adım: Bölümün karekökü alınır: s = √2 bulunur.
CevapStandart sapma s = √2
Veri gösterim yöntemleri ve grafik türleri
Toplanan verilerin görselleştirilmesi, bilgilerin hızla anlaşılmasını ve karşılaştırılabilmesini sağlar. Verinin yapısına göre uygun grafik türü seçilmelidir.
| Grafik türü | En uygun olduğu veri yapısı | Kullanım alanı |
|---|---|---|
| Çizgi grafiği | Sürekli veriler ve zamana bağlı değişimler | Bir ilin saatlik sıcaklık değişimi, borsa endeksleri, döviz kuru, nüfus artış trendi. |
| Sütun grafiği | Kategorik ve kesikli verilerin karşılaştırılması | Farklı sınıfların not ortalamaları, aylık satış adetleri, partilerin oy oranları. |
| Daire grafiği | Bir bütünü oluşturan parçaların oranları ve yüzdeleri | Bütçe dağılımı, anket sonuçları, arazi kullanım oranları (tüm daire 360°’dir). |
| Kutu grafiği | Veri dağılımının 5 önemli değerle özetlenmesi | En küçük değer, alt çeyrek, medyan, üst çeyrek ve en büyük değer tek kutuda gösterilir. |
KısayolZamana bağlı artış/azalış trendi için Çizgi Grafiği; kategorileri kıyaslamak için Sütun Grafiği; parçanın bütüne oranı için Daire Grafiği seçilir.
Örnek. Bir çiftlikte 30 inek, 40 koyun ve 50 keçi bulunmaktadır. Bu hayvan dağılımı daire grafiğinde gösterildiğinde inekleri temsil eden dilimin merkez açısı kaç derece olur?
- Toplam hayvan sayısı bulunur: 30 + 40 + 50 = 120 hayvan.
- Dairenin tamamı 360 derecedir ve 120 hayvanın tamamını temsil eder.
- Hayvan başına düşen açı: 360° / 120 = 3°.
- İnek sayısı 30 olduğuna göre: 30 × 3° = 90° elde edilir.
Cevapİneklerin merkez açısı 90°’dir.
Veri analizinde doğru ölçünün seçilmesi
Her istatistiksel problemde aynı ölçü kullanılamaz. Örneğin bir şirkette 9 işçi 20.000 TL, 1 genel müdür 500.000 TL maaş alıyorsa ortalama maaş 68.000 TL çıkar; bu ortalama işçilerin durumunu yansıtmaz. Bu durumda çalışanların tipik maaşını en iyi temsil eden ölçü medyandır (20.000 TL).
- Verilerde uçlarda aşırı sapmalar yoksa ve simetrik dağılmışsa en iyi temsilci aritmetik ortalamadır.
- Verilerde aşırı uç değerler varsa (çok zengin, çok fakir gibi) en tarafsız merkez medyandır.
- En popüler tercihi, ayakkabı numarasını veya en çok satılan ürünü belirlemek için mod kullanılır.
Testten önce bunları bil
- Medyanı hesaplamadan önce mutlaka sıralayın
Sırasız bir listede ortadaki terimi almak en sık yapılan hatadır; sayılar önce küçükten büyüğe dizilmelidir.
- Standart sapma formülünde n − 1’e bölünür
Standart sapma hesabında kareler toplamı n’e değil, veri sayısının bir eksiği olan (n − 1)’e bölünür.
- Daire grafiğinde oran 360 derece üzerinden kurulur
Verinin toplamdaki payı tespit edilip 360° ile orantılanmalıdır (örneğin %25’lik pay 90°’ye karşılık gelir).
- Tüm verilere sabit sayı eklenirse standart sapma değişmez
Bir sınıftaki herkesin notuna 10 puan eklenirse aritmetik ortalama 10 puan artar fakat puanların yayılımı değişmediğinden standart sapma aynı kalır.
Kendini dene
Cevaba dokun — neden öyle olduğunu birlikte görelim.
12, 15, 18, 20, 25 veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır?
4, 7, 9, 12, 15, 18 veri grubunun medyanı (ortancası) kaçtır?
Bir veri grubunda en çok tekrar eden (frekansı en yüksek olan) değere ne ad verilir?
Veri grubundaki aşırı uç değerlerden (aşırı büyük veya aşırı küçük) EN AZ etkilenen merkezî eğilim ölçüsü hangisidir?
6, 8, 11, 14, 25 veri grubunun açıklığı (ranjı) kaçtır?
Bir sınavda iki sınıfın aritmetik ortalaması eşit çıkmıştır. A sınıfının standart sapması 2, B sınıfının standart sapması 7 olduğuna göre hangisi kesinlikle doğrudur?
Bir ilin haftalık sıcaklık değişimini ve zamana bağlı artış-azalış eğilimini en etkili gösteren grafik türü hangisidir?
Bir ailenin aylık gelirinin harcama kalemlerine göre oransal ve yüzdesel dağılımını göstermek için en uygun grafik türü hangisidir?
5 kişilik bir arkadaş grubunun yaşları 14, 15, 15, 16, 20’dir. Bu grubun modu kaçtır?
Bir veri grubundaki tüm sayılara 5 eklenirse bu veri grubunun standart sapması nasıl değişir?
Alıştırma bitti — –
Bütün konular Matematik müfredatında.
0/10 · soru cevaplandı