Dik üçgen ve Pisagor konu anlatımı ve test — geometri

01

Dik üçgen ve Pisagor bağıntısı

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. 90°’lik açıyı oluşturan kenarlara dik kenarlar, dik açının karşısındaki en uzun kenara ise hipotenüs adı verilir.

Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. Bu evrensel teorem Pisagor bağıntısı olarak adlandırılır.

Pisagor bağıntısıa² + b² = c² (burada a ve b dik kenarlar, c hipotenüstür).

Örnek. Dik kenar uzunlukları 5 cm ve 12 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm’dir?

Pisagor bağıntısı yazılır: a² + b² = c².
5² + 12² = c².
25 + 144 = 169 = c².
c = √169 = 13 cm bulunur.

CevapHipotenüs 13 cm’dir (5-12-13 özel üçgeni).

Temel özel üçgen	Kenar oranları	Sık kullanılan katları
3 - 4 - 5 üçgeni	3k, 4k, 5k	6-8-10 · 9-12-15 · 12-16-20 · 15-20-25
5 - 12 - 13 üçgeni	5k, 12k, 13k	10-24-26 · 15-36-39
8 - 15 - 17 üçgeni	8k, 15k, 17k	16-30-34
7 - 24 - 25 üçgeni	7k, 24k, 25k	14-48-50
k - 2k - k√5 üçgeni	Dik kenarlardan biri diğerinin 2 katı	Hipotenüs küçük dik kenarın √5 katıdır (ör. 3, 6, 3√5)

Bir üçgenin kenarları bu özel oranları sağlıyorsa, Pisagor kare hesabı yapmadan doğrudan eksik kenar bulunabilir.

02

Açılarına göre özel dik üçgenler

İç açıları belirli değerlerde olan dik üçgenlerde kenarlar arasında sabit oranlar bulunur. Geometri sorularında bu oranlar hesaplamaları son derece hızlandırır.

Özel üçgen	Açılar	Kenar bağıntıları	Açıklama
30° - 60° - 90°	30°, 60°, 90°	30° karşısı a ise: 90° karşısı 2a, 60° karşısı a√3	Eşkenar üçgenin simetri ekseniyle ikiye bölünmesinden elde edilir.
45° - 45° - 90°	45°, 45°, 90°	Dik kenarlar a, a ise: hipotenüs a√2	İkizkenar dik üçgendir; karenin köşegenle bölünmüş yarısıdır.
15° - 75° - 90°	15°, 75°, 90°	Hipotenüse inen yükseklik h ise: hipotenüs 4h	Hipotenüs uzunluğu hipotenüse ait yüksekliğin 4 katıdır.

Açıları 30°, 30°, 120° olan ikizkenar üçgen dik üçgen değildir; ancak tepeden tabana inen yükseklik onu iki tane 30° - 60° - 90° üçgenine ayırır ve bu tablodaki oranlar o parçalarda kullanılır.

Kısayol30-60-90 üçgeninde: 30° karşısı hipotenüsün yarısıdır; 60° karşısı ise 30° karşısındakinin √3 katıdır.

Örnek. Hipotenüs uzunluğu 12 cm olan bir 30° - 60° - 90° üçgeninde 60°’lik açının karşısındaki dik kenar kaç cm’dir?

Hipotenüs 2a = 12 cm olduğuna göre 30°’nin karşısındaki kenar a = 12 / 2 = 6 cm olur.
60°’lik açının karşısındaki dik kenar a√3 formülünden hesaplanır.
Kenar uzunluğu 6√3 cm bulunur.

Cevap6√3 cm

03

Öklid bağıntıları

Bir dik üçgende dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse dikme indirilirse Öklid teoremi geçerli olur. Dik olmayan köşeden inen dikmelerde Öklid uygulanamaz.

ABC dik üçgeninde m(A) = 90° olsun. [AH] ⊥ [BC] çizilsin. |AH| = h (yükseklik), |BH| = p (hipotenüsün soldaki parçası), |HC| = k (sağdaki parçası), |BC| = a = p + k (hipotenüsün tamamı), |AB| = c ve |AC| = b olsun.

Bağıntı adı	Matematiksel formül	Sözel ifadesi
Yükseklik bağıntısı	h² = p · k	Yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Sol dik kenar bağıntısı	c² = p · a	Dik kenarın karesi, kendi tarafındaki parça ile hipotenüsün tamamının çarpımıdır.
Sağ dik kenar bağıntısı	b² = k · a	Dik kenarın karesi, kendi tarafındaki parça ile hipotenüsün tamamının çarpımıdır.
Alan bağıntısı	b · c = a · h	Dik kenarların çarpımı, hipotenüs ile ona inen yüksekliğin çarpımına eşittir.

Öklid şartıDikten dik iniyorsa Öklid vardır: h² = p · k ve b · c = a · h.

Örnek. ABC dik üçgeninde m(A) = 90° ve [AH] ⊥ [BC]’dir. |BH| = 4 cm ve |HC| = 9 cm olduğuna göre [AH] yüksekliği h kaç cm’dir?

Dikten dik inildiği için Öklid yükseklik bağıntısı uygulanır: h² = p · k.
h² = 4 · 9 = 36.
h = √36 = 6 cm bulunur.

Cevaph = 6 cm

04

Muhteşem üçlü kuralı

Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir. Bu kurala geometride muhteşem üçlü adı verilir.

ABC dik üçgeninde m(A) = 90° ve D noktası [BC] hipotenüsünün orta noktası ise: |AD| = |BD| = |DC| eşitliği sağlanır.

KısayolBir üçgende diklik, kenarortay ve parçaların eşitliği üçlüsünden herhangi ikisi varsa üçüncüsü kendiliğinden doğrudur.

Örnek. Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu 20 cm olduğuna göre dik köşeden hipotenüse çizilen kenarortayın uzunluğu kaç cm’dir?

Muhteşem üçlü teoremine göre dik açıdan hipotenüse çizilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
|AD| = |BC| / 2.
|AD| = 20 / 2 = 10 cm bulunur.

CevapKenarortay 10 cm’dir.

İpuçları

Testten önce bunları bil

Öklid için mutlaka dikten dik inmelidir
Öklid bağıntıları (h² = p·k) yalnızca 90°’lik dik köşeden hipotenüse dik inildiğinde geçerlidir; rastgele üçgende uygulanamaz.
30° ve 60° karşısındaki kenarları karıştırmayın
30° en küçük dar açıdır ve karşısında hipotenüsün yarısı (a) bulunur; 60° karşısında ise daha büyük olan a√3 kenarı yer alır.
Muhteşem üçlü dikliği de ispatlar
Bir üçgende bir kenarortayın uzunluğu ayırdığı parçalara eşitse (|AD| = |BD| = |DC|), o kenarortayın çıktığı köşe açısı kesinlikle 90°’dir.
k, 2k, k√5 pratik kuralını kullanın
Dik kenarlardan biri diğerinin 2 katıysa kare toplamlarıyla uğraşmadan hipotenüse doğrudan küçük kenarın √5 katını yazabilirsiniz.

05

Kendini dene

Cevaba dokun — neden öyle olduğunu birlikte görelim.

Dik kenar uzunlukları 8 cm ve 15 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm’dir?

8-15-17 özel dik üçgenidir: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17².

Hipotenüs uzunluğu 16 cm olan bir 30° - 60° - 90° üçgeninde 30°’lik açının karşısındaki kenar kaç cm’dir?

30°’lik açının karşısındaki dik kenar hipotenüsün yarısına eşittir: 16 / 2 = 8 cm.

İkizkenar bir dik üçgende (45° - 45° - 90°) hipotenüs uzunluğu 10 cm olduğuna göre dik kenarların her birinin uzunluğu kaç cm’dir?

a√2 = 10 ⇒ a = 10 / √2 = 5√2 cm bulunur.

ABC dik üçgeninde m(A) = 90° ve [AH] ⊥ [BC]’dir. |BH| = 2 cm ve |HC| = 8 cm olduğuna göre |AH| yüksekliği kaç cm’dir?

Öklid bağıntısından: h² = p · k = 2 · 8 = 16 ⇒ h = 4 cm.

ABC dik üçgeninde m(A) = 90° ve [AH] ⊥ [BC]’dir. |BH| = 3 cm ve |HC| = 9 cm olduğuna göre |AB| dik kenarının uzunluğu kaç cm’dir?

|BC| = 3 + 9 = 12 cm. Öklid yan kenar bağıntısı: |AB|² = |BH| · |BC| = 3 · 12 = 36 ⇒ |AB| = 6 cm.

Bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse çizilen kenarortayın hipotenüsün yarısına eşit olması kuralına ne ad verilir?

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın ayırdığı parçalara eşit olması geometride muhteşem üçlü olarak adlandırılır.

15° - 75° - 90° özel dik üçgeninde hipotenüs uzunluğu 24 cm olduğuna göre hipotenüse ait yükseklik kaç cm’dir?

15-75-90 dik üçgeninde hipotenüse ait yükseklik hipotenüsün dörtte biridir: h = 24 / 4 = 6 cm.

Dik kenarları 4 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm’dir?

k, 2k, k√5 kuralından dik kenarlar 4 ve 8 ise hipotenüs 4√5 cm olur.

Kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm olan bir üçgen için hangisi kesinlikle doğrudur?

7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² eşitliği Pisagor teoremini sağladığından dik üçgendir.

Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik kaç cm’dir?

Hipotenüs 6-8-10 üçgeninden 10 cm’dir. Alan bağıntısından: b · c = a · h ⇒ 6 · 8 = 10 · h ⇒ 48 = 10h ⇒ h = 4,8 cm.

Alıştırma bitti — –

Sıradaki konu: Üçgende alan.

0/10 · soru cevaplandı