Açı, derece ve tümler-bütünler açılar
Başlangıç noktaları ortak iki ışının birleşimine açı denir. Ortak noktaya köşe, ışınlara kenar adı verilir. ∠ABC yazılışında ortadaki harf köşedir: B köşesinde, BA ve BC ışınları arasındaki açı.
Açının ölçü birimi derecedir ve ° ile gösterilir. Bir tam dönüş 360°, yarım dönüş 180°, çeyrek dönüş 90°’dir. Açılar ölçülerine göre beş adla anılır.
| Açının adı | Ölçüsü | Nasıl akılda kalır? |
|---|---|---|
| Dar açı | 0° < x < 90° | Dik açıdan küçük |
| Dik açı | 90° | Kare ya da defter köşesi gibi, tam çeyrek dönüş |
| Geniş açı | 90° < x < 180° | Dik açıdan büyük, doğru açıdan küçük |
| Doğru açı | 180° | Kenarları aynı doğru üzerinde, zıt yönlü |
| Tam açı | 360° | Bir noktanın çevresinde tam tur |
Dar ve geniş açı bir ölçü aralığını, dik, doğru ve tam açı ise tek bir ölçüyü adlandırır.
Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya birbirinin tümleyeni, toplamı 180° olan iki açıya birbirinin bütünleyeni denir. İkisi de aynı köşede olmak zorunda değildir; yalnız ölçülerin toplamı önemlidir.
Kısayolx derecelik açının tümleyeni 90° − x, bütünleyeni 180° − x’tir. Bütünleyen ile tümleyenin farkı her zaman 90°’dir.
Örnek. Bir açının bütünleyeni, tümleyeninin 4 katıdır. Açı kaç derecedir?
- Açıya x diyelim. Bütünleyeni 180° − x, tümleyeni 90° − x.
- Koşul: 180° − x = 4 · (90° − x) = 360° − 4x
- Düzenleyince 3x = 180°, buradan x = 60°.
- Kontrol: bütünleyeni 120°, tümleyeni 30°; 4 · 30° = 120° ✓.
Cevap60°
Kesişen doğrularda ters ve komşu açılar
İki doğru bir noktada kesişince dört açı oluşur. Karşılıklı duran iki açıya ters açı (karşıt açı) denir. Yan yana duran, bir kenarı ortak ve diğer kenarları aynı doğru üzerinde olan açılar komşu bütünler açılardır.
- Ters açıların ölçüleri her zaman eşittir.
- Komşu açıların ölçüleri toplamı 180°’dir.
- Bir noktanın çevresindeki bütün açıların toplamı 360°’dir.
- Bir doğru üzerindeki bir noktada yan yana dizilen açıların toplamı 180°’dir.
Ters açıların eşitliği, ikisinin de aynı açının bütünleyeni olmasından çıkar: biri 180° − x ise öbürü de 180° − x’tir. Bu yüzden dört açıdan yalnız birini bilmek hepsini bulmaya yeter.
Örnek. İki doğru kesişiyor. Ters iki açı 3x + 10° ve 2x + 40° olarak veriliyor. Bu açıların ölçüsünü ve komşu açıyı bulun.
- Ters açılar eşit: 3x + 10° = 2x + 40°
- x = 30°
- Açı = 3 · 30° + 10° = 100° (kontrol: 2 · 30° + 40° = 100° ✓)
- Komşu açı bütünleyendir: 180° − 100° = 80°.
CevapTers açılar 100°, komşu açılar 80°
Bir noktanın çevresindeki açılar x, 2x, 3x ve 6x ise 12x = 360° olur ve x = 30° bulunur. Çevresel toplam 360°, doğru üzerindeki toplam 180° — ikisini karıştırmamak gerekir.
Paralel doğrular ve kesen
Aynı düzlemde kesişmeyen iki doğruya paralel denir ve d₁ ∥ d₂ yazılır. Bu iki doğruyu üçüncü bir doğru, yani kesen, farklı noktalarda keserse toplam sekiz açı oluşur. Bu açılar beş çift adla anılır.
| Açı çifti | Konumu | Paralel doğrularda ilişkisi |
|---|---|---|
| Yöndeş açılar | Kesenin aynı tarafında; biri üst, biri alt paralelde aynı yönde | Eşit |
| İç ters açılar | İki paralelin arasında, kesenin farklı yanlarında | Eşit |
| Dış ters açılar | İki paralelin dışında, kesenin farklı yanlarında | Eşit |
| İç karşı durumlu açılar | İki paralelin arasında, kesenin aynı yanında | Toplamları 180° |
| Dış karşı durumlu açılar | İki paralelin dışında, kesenin aynı yanında | Toplamları 180° |
Bu ilişkiler yalnız doğrular paralel olduğunda geçerlidir. Tersi de doğrudur: bu çiftlerden biri eşitse (ya da toplamı 180° ise) doğrular paraleldir.
Harf kuralıZ harfi iç ters açıları (eşit), F harfi yöndeş açıları (eşit), C harfi iç karşı durumlu açıları (toplam 180°) gösterir.
Örnek. d₁ ∥ d₂ ve bir kesen var. Yöndeş iki açı 4x + 20° ile 6x − 40° ise açının ölçüsü kaçtır?
- Paralellikte yöndeş açılar eşit: 4x + 20° = 6x − 40°
- 60° = 2x, buradan x = 30°.
- Açı = 4 · 30° + 20° = 140° (kontrol: 6 · 30° − 40° = 140° ✓).
Cevap140°
Örnek. d₁ ∥ d₂. İç karşı durumlu iki açı 3x + 10° ve 2x + 30° ise bu açılar kaç derecedir?
- İç karşı durumlu açıların toplamı 180°: (3x + 10°) + (2x + 30°) = 180°
- 5x + 40° = 180°, 5x = 140°, x = 28°.
- Açılar: 3 · 28° + 10° = 94° ve 2 · 28° + 30° = 86°; toplam 180° ✓.
Cevap94° ve 86°
Paralel doğrular arasında kırılan bir çizgi (kırık çizgi) görürseniz kırılma noktasından paralellere bir paralel çizin. Böylece iç ters açılar ortaya çıkar ve eşitlikler yazılabilir.
Üçgenin iç ve dış açıları
Üçgenin üç köşesindeki açılara iç açı denir. Her üçgende iç açıların toplamı 180°’dir: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Bu eşitliğin nedeni şudur: A köşesinden BC kenarına paralel bir doğru çizilir. B ve C açılarına eşit olan iç ters açılar A köşesinde oluşur; bu iki açı ile A açısı birlikte bir doğru açı, yani 180° yapar.
Üçgenin bir kenarı uzatılınca köşede oluşan açıya dış açı denir. Dış açı, kendisine komşu olan iç açının bütünleyenidir. Daha önemli bir sonuç: dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
KısayolDış açı = komşu olmayan iki iç açının toplamı. Her köşeden birer dış açı alınırsa bunların toplamı 360°’dir.
Örnek. ABC üçgeninde ∠A = 50° ve ∠B = 65° ise ∠C ile C köşesindeki dış açıyı bulun.
- İç açılar toplamı: ∠C = 180° − (50° + 65°) = 65°.
- C köşesindeki dış açı, komşu olmayan A ve B’nin toplamıdır: 50° + 65° = 115°.
- Kontrol: komşu iç açının bütünleyeni 180° − 65° = 115° ✓.
Cevap∠C = 65°, dış açı = 115°
Örnek. Bir üçgenin açıları x, 2x ve 3x ise bu üçgen hangi çeşittir?
- Toplam: x + 2x + 3x = 6x = 180°, buradan x = 30°.
- Açılar 30°, 60°, 90°.
- Bir açı 90° olduğu için üçgen dik üçgendir.
CevapAçıları 30°, 60°, 90° olan dik üçgen
Üçgen çeşitleri ve açı-kenar sıralaması
Üçgenler açılarına ve kenarlarına göre sınıflanır. Açılara göre sınıflama, en büyük açıya bakılarak yapılır.
| Üçgen | Tanım | Açı özelliği |
|---|---|---|
| Dar açılı | Üç açısı da 90°’den küçük | En büyük açı 90°’den küçük |
| Dik açılı | Bir açısı 90° | Diğer iki açı tümler (toplamı 90°) |
| Geniş açılı | Bir açısı 90°’den büyük | Diğer iki açı dar |
| İkizkenar | İki kenarı eşit | Eşit kenarların karşısındaki taban açıları eşit |
| Eşkenar | Üç kenarı eşit | Her açı 60° |
Örnek. ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ve tepe açısı ∠A = 40° ise taban açıları ile B köşesindeki dış açıyı bulun.
- Eşit kenarlar AB ve AC olduğundan B ve C açıları eşittir.
- ∠B = ∠C = (180° − 40°) / 2 = 70°.
- B köşesindeki dış açı = ∠A + ∠C = 40° + 70° = 110° (kontrol: 180° − 70° = 110° ✓).
CevapTaban açıları 70°, dış açı 110°
Bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar büyüktür; eşit açıların karşısındaki kenarlar eşittir. Böylece açılar bilindiğinde kenarlar uzunluğa göre sıralanabilir.
Örnek. ABC üçgeninde ∠A = 80°, ∠B = 60°, ∠C = 40° ise kenarları uzunluğa göre sıralayın.
- A açısı en büyük: karşısındaki |BC| en uzun.
- B açısı ortada: karşısındaki |AC| ortada.
- C açısı en küçük: karşısındaki |AB| en kısa.
Cevap|BC| > |AC| > |AB|
Köşe adı ile kenar adı eşleştirilirken kenar, adını taşımayan köşenin karşısındadır: A köşesinin karşısındaki kenar BC’dir.
Testten önce bunları bil
- Eşitlikler yalnız paralel doğrularda geçerlidir
İç ters ve yöndeş açıların eşitliği, doğrular paralel olduğu bilindiğinde kullanılır. Paralellik verilmediyse bu kuralları uygulamayın.
- Tümler 90°, bütünler 180°
Tümler açıların toplamı 90°, bütünler açıların toplamı 180°’dir. Bu ikisini yer değiştirmek en sık yapılan hatadır.
- Dış açı komşu iç açıya eşit değildir
Dış açı, komşu iç açıyla 180° yapar. Komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
- İç ters eşit, iç karşı durumlu bütünler
Z biçimindeki açılar eşit, C biçimindeki açılar toplam 180°’dir. Çiftin türünü belirlemeden denklem kurmayın.
- Büyük açının karşısı büyük kenar
Kenar uzunluklarını sıralarken açının karşısındaki kenara bakın; açının kollarındaki kenara değil.
Kendini dene
Cevaba dokun — neden öyle olduğunu birlikte görelim.
Ölçüsü 72° olan açının tümleyeni kaç derecedir?
Bir açının bütünleyeni, kendisinin 5 katıdır. Bu açı kaç derecedir?
İki doğru kesişiyor. Ters açılar 2x + 15° ve 4x − 25° ise bu açılardan biri kaç derecedir?
d₁ ∥ d₂ ve bir kesen var. İç karşı durumlu açılar 2x + 20° ile 3x − 10° ise x kaçtır?
ABC üçgeninde ∠A = 47° ve ∠B = 68° ise ∠C kaç derecedir?
Bir üçgende B köşesindeki dış açı 130° ve ∠A = 50° ise ∠C kaç derecedir?
Paralel iki doğruyu bir kesen kestiğinde hangisi her zaman doğrudur?
Bir üçgenin her köşesinden birer dış açı alınırsa bu dış açıların toplamı kaç derecedir?
ABC üçgeninde ∠A = 100°, ∠B = 45°, ∠C = 35° ise en uzun kenar hangisidir?
Taban açılarından biri 50° olan ikizkenar üçgenin tepe açısı kaç derecedir?
Alıştırma bitti — –
Sıradaki konu: Üçgende eşlik ve benzerlik.
0/10 · soru cevaplandı