Üçgende eşlik ve benzerlik

Eşlik kavramı ve üçgenlerde eşlik kuralları

Karşılıklı açı ölçüleri eşit ve karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan iki üçgene eş üçgenler denir. İki üçgenin eşliği ≅ sembolüyle gösterilir. ABC üçgeni ile DEF üçgeni eş ise ABC ≅ DEF biçiminde yazılır.

Eşlik gösteriminde harf sırası çok önemlidir. ABC ≅ DEF yazıldığında; A açısı D açısına, B açısı E açısına, C açısı F açısına eşittir. Aynı şekilde |AB| = |DE|, |BC| = |EF| ve |AC| = |DF| olur.

Örnek. ABC ve DEF üçgenlerinde |AB| = |DE| = 7 cm, |AC| = |DF| = 9 cm ve m(A) = m(D) = 55° veriliyor. m(B) = 65° olduğuna göre E açısının ölçüsü kaç derecedir?

• İkişer kenar ve aralarındaki açılar eşittir (|AB| = |DE|, |AC| = |DF| ve m(A) = m(D)).
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) kuralı gereğince ABC ≅ DEF olur.
• Eş üçgenlerde eşit kenarlar karşısındaki açılar ve karşılıklı açılar eştir: m(E) = m(B).
• m(B) = 65° olduğundan m(E) = 65° bulunur.

Cevapm(E) = 65°

Benzerlik kavramı ve benzerlik oranı

Karşılıklı açı ölçüleri birbirine eşit ve karşılıklı kenar uzunlukları birbiriyle orantılı olan iki üçgene benzer üçgenler denir. Benzerlik ∼ sembolüyle gösterilir. Karşılıklı kenarların oranına benzerlik oranı denir ve genellikle k harfiyle ifade edilir.

ABC ∼ DEF ise karşılıklı kenar oranları şöyledir: |AB| / |DE| = |BC| / |EF| = |AC| / |DF| = k. Eş üçgenler, benzerlik oranı k = 1 olan özel benzer üçgenlerdir.

KısayolBenzer üçgenlerde aynı açının karşısındaki kenarlar birbirine oranlanır. Harf sırası açı eşliğini verir: ABC ∼ DEF ise A açısı D açısıyla, B açısı E açısıyla eşleşir.

Temel orantı teoremi ve Thales teoremi

Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, kestiği kenarları orantılı parçalara ayırır. Buna temel orantı teoremi denir.

ABC üçgeninde D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerinde olsun. Eğer [DE] // [BC] ise hem kenarlar orantılı bölünür hem de küçük üçgen büyük üçgene benzer olur: ADE ∼ ABC.

Taban oranı kuralıParalel taban oranı aranıyorsa mutlaka küçük kenar bölü büyük kenar tamamı alınır: |DE| / |BC| = |AD| / |AB|.

Örnek. ABC üçgeninde [DE] // [BC]’dir. D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir. |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |DE| = 8 cm olduğuna göre |BC| kaç cm’dir?

• [DE] // [BC] olduğundan ADE ∼ ABC benzerliği kurulur.
• |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 cm olur.
• Benzerlik oranı k = |AD| / |AB| = 4 / 10 = 2 / 5’tir.
• Tabanların oranı benzerlik oranına eşittir: |DE| / |BC| = 4 / 10.
• 8 / |BC| = 4 / 10 ⇒ 4 · |BC| = 80 ⇒ |BC| = 20 cm bulunur.

Cevap|BC| = 20 cm

Benzer üçgenlerde çevre, alan ve yardımcı elemanlar

Benzer iki üçgende yalnızca kenarlar değil, bütün karşılıklı uzunluklar da aynı benzerlik oranıyla orantılıdır. Karşılıklı yükseklikler (h), açıortaylar (n), kenarortaylar (V) ve çevreler benzerlik oranı k ile orantılıdır.

Uzunlukların oranı k iken, yüzey ölçüsü olan alanların oranı benzerlik oranının karesine eşittir: k². Bu kural geometrideki en temel ölçek prensiplerinden biridir.

Örnek. Benzer iki üçgenin benzerlik oranı k = 3 / 4’tür. Küçük üçgenin çevresi 36 cm olduğuna göre büyük üçgenin çevresi kaç cm’dir?

• Benzer üçgenlerin çevreleri oranı benzerlik oranına eşittir: Ç(küçük) / Ç(büyük) = k = 3 / 4.
• 36 / Ç(büyük) = 3 / 4 eşitliği yazılır.
• 3 · Ç(büyük) = 36 · 4 = 144.
• Ç(büyük) = 144 / 3 = 48 cm bulunur.

CevapBüyük üçgenin çevresi 48 cm’dir.

Örnek. Benzer iki üçgenin alanları oranı 9 / 25 olduğuna göre bu iki üçgenin çevreleri oranı kaçtır?

• Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: Alan₁ / Alan₂ = k² = 9 / 25.
• Her iki tarafın karekökü alınır: k = √(9 / 25) = 3 / 5.
• Çevreler oranı doğrudan k’ye eşittir.
• Dolayısıyla çevreler oranı 3 / 5 olur.

CevapÇevreler oranı 3 / 5’tir.