Denklemler ve eşitsizlikler

Gerçek sayılarda aralık kavramı ve gösterimi

Gerçek sayı doğrusunda iki nokta arasında kalan bütün sayıların oluşturduğu kümeye aralık denir. Aralıklar, uç noktaların kümeye dahil olup olmamasına göre üçe ayrılır: açık aralık, kapalı aralık ve yarı açık aralık.

Uç nokta aralığa dahilse köşeli parantez [ ], dahil değilse yay ayraç ( ) kullanılır. Sayı doğrusunda dahil olan noktalar içi dolu daireyle, dahil olmayanlar içi boş daireyle gösterilir.

KısayolEşitlik varsa (≤ veya ≥) köşeli parantez [ ], katı eşitsizlikte (< veya >) yay ayraç ( ) yazılır.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

a ve b birer gerçek sayı ve a ≠ 0 olmak üzere, ax + b = 0 biçimindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü, köklerin oluşturduğu kümeye ise çözüm kümesi (ÇK) denir.

Denklem çözülürken bilinmeyen terimler eşitliğin bir tarafına, bilinen sayılar diğer tarafına toplanır. Bir terim eşitliğin karşısına geçerken işareti değişir. ax + b = 0 denkleminin tek kökü x = −b / a olur.

Örnek. 3(x − 2) + 4 = 2x + 7 denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulun.

• Önce parantezi dağıtırız: 3x − 6 + 4 = 2x + 7.
• Sol tarafı düzenleriz: 3x − 2 = 2x + 7.
• Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa toplarız: 3x − 2x = 7 + 2.
• x = 9 bulunur.

CevapÇözüm kümesi Ç = {9}

0 · x = 0 denklemini her x sayısı sağlar (çözüm R). 0 · x = 5 denklemini hiçbir x sayısı sağlayamaz, çünkü sol taraf her zaman sıfırdır (çözüm ∅).

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler

a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0 ifadelerine birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Eşitsizlik çözülürken denklem adımları izlenir; ancak kritik bir kural vardır.

Eşitsizlik yön kuralıBir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır ya da negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir: < işareti > olur, ≤ işareti ≥ olur.

• Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir; eşitsizliğin yönü değişmez.
• Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpılırsa veya bölünürse yön değişmez.
• Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılırsa veya bölünürse yön MUTLAKA tersine döner.

Örnek. −2x + 5 < 11 eşitsizliğinin çözüm kümesini aralık biçiminde yazın.

• Her iki taraftan 5 çıkarırız: −2x < 11 − 5 yani −2x < 6.
• Her iki tarafı −2’ye böleriz. Negatif sayıya böldüğümüz için «<» işareti «>» işaretine dönüşür: x > 6 / (−2).
• x > −3 elde edilir.
• Aralık olarak: (−3, ∞).

CevapÇ = (−3, ∞)

Örnek. −4 ≤ 2x − 2 < 8 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarını bulun.

• Her üç tarafa 2 ekleriz: −4 + 2 ≤ 2x < 8 + 2 yani −2 ≤ 2x < 10.
• Her tarafı pozitif 2 sayısına böleriz (yön değişmez): −1 ≤ x < 5.
• Bu aralıktaki tam sayılar: −1, 0, 1, 2, 3, 4.

CevapSağlayan tam sayılar: {−1, 0, 1, 2, 3, 4}

Mutlak değer, denklem ve eşitsizlikler

Bir gerçek sayının sayı doğrusunda sıfıra (başlangıç noktasına) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir ve |x| ile gösterilir. Uzaklık negatif olamayacağından mutlak değer hiçbir zaman negatif çıkmaz: |x| ≥ 0.

x ≥ 0 ise |x| = x; x < 0 ise |x| = −x olur. Buradaki −x pozitif bir değerdir; örneğin x = −5 ise |−5| = −(−5) = 5.

Örnek. |2x − 3| = 7 denkleminin çözüm kümesini bulun.

• Mutlak değer kuralına göre iç kısım 7 veya −7 olabilir.
• 1. durum: 2x − 3 = 7 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5.
• 2. durum: 2x − 3 = −7 ⇒ 2x = −4 ⇒ x = −2.
• Her iki değer de denklemi sağlar.

CevapÇ = {−2, 5}

Örnek. |x − 3| ≤ 4 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulun.

• |x| ≤ a kuralından: −4 ≤ x − 3 ≤ 4.
• Her üç tarafa 3 ekleriz: −4 + 3 ≤ x ≤ 4 + 3.
• −1 ≤ x ≤ 7 elde edilir.

CevapÇ = [−1, 7]

İki bilinmeyenli denklem sistemleri ve problemler

İçinde iki bilinmeyen bulunan birinci dereceden iki denklemin oluşturduğu yapıya birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Sistemi çözmek için çoğunlukla yok etme yöntemi ya da yerine koyma yöntemi kullanılır.

Yok etme yönteminde denklemler uygun katsayılarla çarpılarak taraf tarafa toplanır ve bilinmeyenlerden biri yok edilir. Bulunan değer diğer denklemde yerine yazılarak ikinci bilinmeyen hesaplanır.

Örnek. 2x + y = 13 ve x − y = 2 denklem sisteminin çözümünü bulun.

• Denklemleri taraf tarafa toplarız: (2x + y) + (x − y) = 13 + 2.
• y terimleri birbirini götürür: 3x = 15 ⇒ x = 5.
• Bulduğumuz x = 5 değerini ikinci denklemde yerine yazarız: 5 − y = 2 ⇒ y = 3.
• Çözüm kümesi sıralı ikili olarak (5, 3) biçiminde yazılır.

Cevap(x, y) = (5, 3)

Problem kurmaProblemlerde sorulan temel büyüklüğe x denir; diğer bütün büyüklükler x cinsinden ifade edilip verilen eşitliğe bağlanır.

Örnek. Bir sayının 3 katının 4 eksiği, aynı sayının 2 katının 6 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?

• Aradığımız sayıya x diyelim.
• Sayının 3 katının 4 eksiği: 3x − 4.
• Sayının 2 katının 6 fazlası: 2x + 6.
• Denklem: 3x − 4 = 2x + 6 ⇒ 3x − 2x = 6 + 4 ⇒ x = 10.

CevapAranan sayı 10’dur.