Üçgende açılar ve açı bağıntıları
Doğrusal olmayan üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle oluşan geometrik şekle üçgen denir. Bir üçgenin üç köşesi, üç kenarı ve üç iç açısı vardır.
| Kural / Özellik | Matematiksel bağıntı | Açıklama |
|---|---|---|
| İç açılar toplamı | m(A) + m(B) + m(C) = 180° | Her üçgende iç açılar toplamı daima 180 derecedir. |
| Dış açılar toplamı | m(A′) + m(B′) + m(C′) = 360° | Bütün dış açıların ölçüleri toplamı daima 360 derecedir. |
| Dış açı özelliği | m(Dış açı) = Komşu olmayan iki iç açının toplamı | Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. |
KısayolBir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: m(C dış) = m(A) + m(B).
Örnek. Bir ABC üçgeninde m(A) = 55° ve m(B) = 65° olduğuna göre C köşesine ait dış açının ölçüsü kaç derecedir?
- Dış açı kuralı: Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
- m(C dış) = m(A) + m(B).
- m(C dış) = 55° + 65° = 120° bulunur.
- Doğrulama: C iç açısı 180° − (55° + 65°) = 60°’dir; bütünleri 180° − 60° = 120° olur.
CevapC dış açısı 120°’dir.
Üçgen eşitsizliği ve açı-kenar bağıntıları
Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük ve bu iki kenarın toplamından küçük olmak zorundadır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir.
Üçgen eşitsizliği|b − c| < a < b + c · |a − c| < b < a + c · |a − b| < c < a + b
Açı-kenar bağıntılarına göre: Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. m(A) > m(B) > m(C) ise kenarlar arasında a > b > c sıralaması vardır.
Örnek. Kenar uzunlukları 5 cm ve 9 cm olan bir ABC üçgeninde üçüncü kenarın uzunluğu x cm’dir. x’in alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?
- Üçgen eşitsizliği kuralı: |9 − 5| < x < 9 + 5.
- 4 < x < 14 aralığı elde edilir.
- x’in alabileceği tam sayılar: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
- Terim sayısı: 13 − 5 + 1 = 9 tanedir.
Cevapx için 9 farklı tam sayı değeri vardır.
| Açı durumu | Kenarlar arasındaki ilişki (Pisagor bağıntısı karşılaştırması) |
|---|---|
| m(A) = 90° (dik açı) | a² = b² + c² |
| m(A) > 90° (geniş açı) | a² > b² + c² |
| m(A) < 90° (dar açı) | a² < b² + c² |
Üçgende yardımcı elemanlar: Kenarortay ve açıortay
Bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasına kenarortay denir (V ile gösterilir). Üç kenarortayın kesiştiği noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve G harfiyle gösterilir.
Ağırlık merkezi kuralıAğırlık merkezi kenarortayı kenara 1 birim, köşeye 2 birim (1:2) oranında böler: |AG| = 2·|GD|.
Bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir (n ile gösterilir). Üçgende iç açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
| Yardımcı eleman | Kesişim noktası | Temel teorem / Özellik |
|---|---|---|
| Kenarortay (V) | Ağırlık merkezi (G) | Köşeye 2k, kenara k oranı vardır; alanı 6 eşit parçaya böler. |
| İç açıortay (n) | İç teğet çember merkezi | İç açıortay teoremi: |AB| / |AC| = |BD| / |DC| (kolların oranı tabanların oranına eşittir). |
| Yükseklik (h) | Diklik merkezi (H) | Dar açılıda üçgenin içinde, dik üçgende dik köşede, geniş açılıda üçgenin dışındadır. |
| Kenar orta dikme | Çevrel çember merkezi | Kenarların orta noktalarından dik çıkan doğruların kesiştiği yerdir. |
Örnek. ABC üçgeninde [AD] iç açıortaydır. |AB| = 6 cm, |AC| = 9 cm ve |BD| = 4 cm olduğuna göre |DC| uzunluğu kaç cm’dir?
- İç açıortay teoremi: |AB| / |AC| = |BD| / |DC|.
- 6 / 9 = 4 / |DC| eşitliğini yazarız.
- Sadeleştirirsek: 2 / 3 = 4 / |DC|.
- 2 · |DC| = 12 ⇒ |DC| = 6 cm bulunur.
Cevap|DC| = 6 cm
Dik üçgende dar açıların trigonometrik oranları
Bir dik üçgende dar açılardan birinin kenarlara göre oranlarına trigonometrik oranlar denir. Bir α dar açısı için tanımlar şöyledir:
| Trigonometrik oran | Sembol | Tanımı (Kenar bağıntısı) |
|---|---|---|
| Sinüs | sin α | Karşı dik kenar / Hipotenüs |
| Kosinüs | cos α | Komşu dik kenar / Hipotenüs |
| Tanjant | tan α | Karşı dik kenar / Komşu dik kenar |
| Kotanjant | cot α | Komşu dik kenar / Karşı dik kenar |
Birbirini 90°’ye tamamlayan tümler açılarda: sin α = cos(90° − α) ve tan α = cot(90° − α).
Temel trigonometri özdeşliklerisin²α + cos²α = 1 · tan α = sin α / cos α · tan α · cot α = 1
| Açı | sinüs | kosinüs | tanjant | kotanjant |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 1 / 2 | √3 / 2 | 1 / √3 | √3 |
| 45° | √2 / 2 | √2 / 2 | 1 | 1 |
| 60° | √3 / 2 | 1 / 2 | √3 | 1 / √3 |
Örnek. Hipotenüsü 10 cm olan bir dik üçgende bir dar açının sinüsü 3 / 5’tir. Bu dar açının tanjantını hesaplayın.
- sin α = Karşı / Hipotenüs = 3 / 5 olduğuna göre; Karşı / 10 = 3 / 5 ⇒ Karşı dik kenar = 6 cm.
- Pisagor bağıntısı: Komşu² + 6² = 10² ⇒ Komşu² + 36 = 100 ⇒ Komşu² = 64 ⇒ Komşu dik kenar = 8 cm.
- tan α = Karşı / Komşu = 6 / 8 = 3 / 4 bulunur.
Cevaptan α = 3 / 4
Testten önce bunları bil
- Üçgen eşitsizliğinde mutlak farkı unutmayın
Üçüncü kenar yalnız iki kenarın toplamından küçük olmakla kalmaz; mutlaka farklarından da büyük olmalıdır (|b − c| < a).
- Ağırlık merkezi köşeye 2, kenara 1 birimdir
G ağırlık merkezi kenarortayı köşeden kenara doğru 2:1 oranında böler; k ve 2k uzunluklarını karıştırmayın.
- İç açıortay kolların oranını tabana taşır
|AB| / |AC| oranı doğrudan |BD| / |DC| parçalarının oranına eşittir; yan kenarlar tabandaki bölümlerle orantılıdır.
- Tümler açıların sinüsü kosinüsüne eşittir
Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, tanjantı kotanjantına eşittir (örneğin sin 30° = cos 60°).
Kendini dene
Cevaba dokun — neden öyle olduğunu birlikte görelim.
Kenar uzunlukları 4 cm ve 10 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarının alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Bir ABC üçgeninde m(A) = 75° ve m(B) = 60° olduğuna göre kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama hangisidir?
ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. [AD] kenarortayının tamamı 18 cm olduğuna göre |AG| uzunluğu kaç cm’dir?
ABC üçgeninde [AN] iç açıortaydır. |AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm ve |BC| = 15 cm olduğuna göre |BN| uzunluğu kaç cm’dir?
Bir dik üçgende bir dar açının tanjantı 4 / 3 olduğuna göre bu dar açının kosinüsü kaçtır?
Bir üçgende iç açıortayların kesiştiği nokta o üçgenin hangi merkezidir?
Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesişim noktası aşağıdakilerden hangisidir?
Bir üçgenin iki dış açısının ölçüsü 110° ve 130° olduğuna göre üçüncü dış açısının ölçüsü kaç derecedir?
Kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 8 cm olan bir üçgen neden çizilemez?
Bir ABC üçgeninde m(A) = 40° ve m(B) = 65° olduğuna göre C köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?
Alıştırma bitti — –
Sıradaki konu: Veri.
0/10 · soru cevaplandı