Kümeler

Küme, eleman ve gösterim biçimleri

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış topluluğudur. «İyi tanımlanmış» demek, herhangi bir nesne için «bu topluluğun içinde mi, değil mi?» sorusunun kesin cevabı olması demektir. «Bir sınıfın uzun boylu öğrencileri» küme değildir, çünkü «uzun» kişiden kişiye değişir. «Bir sınıfın boyu 170 cm’den uzun öğrencileri» ise kümedir.

Kümeyi oluşturan her nesneye eleman denir. Kümeler büyük harfle (A, B, C), elemanlar küçük harfle gösterilir. a nesnesi A kümesinin elemanıysa a ∈ A, değilse a ∉ A yazılır. Kümede bir eleman yalnız bir kez yazılır ve sıranın önemi yoktur: {1, 2, 3} ile {3, 1, 2, 2} aynı kümedir.

Bir küme üç biçimde gösterilir:

Bir kümenin eleman sayısı s(A) ile gösterilir. A = {2, 4, 6, 8} için s(A) = 4 olur. Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme, sonlu olmayana sonsuz küme denir; doğal sayılar kümesi sonsuz kümedir.

Örnek. A = {x | x ∈ N, 2 ≤ x < 7} kümesini liste yöntemiyle yazın ve s(A) değerini bulun.

• Koşul: x doğal sayı, 2 ≤ x < 7. Alt sınır 2 dahildir; üst sınır 7 dahil değildir.
• x = 2, 3, 4, 5, 6 değerlerini alır.
• A = {2, 3, 4, 5, 6}. Elemanları sayarsak 5 eleman vardır.

CevapA = {2, 3, 4, 5, 6} · s(A) = 5

KısayolBir aralıktaki doğal sayıların sayısı için: büyük uç − küçük uç + 1 (iki uç da dahilse). 2’den 6’ya: 6 − 2 + 1 = 5.

Özel kümeler ve sayı kümeleri

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∅ ya da { } ile gösterilir; s(∅) = 0. «Üç basamaklı en küçük negatif doğal sayı» boş kümedir, çünkü böyle bir sayı yoktur. Dikkat: {0} boş küme değildir, bir elemanı vardır (0). {∅} da boş küme değildir, tek elemanı ∅ olan bir kümedir.

Üzerinde çalışılan bütün elemanları kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E (ya da U) ile gösterilir. Aynı problemde bütün kümeler evrensel kümenin parçasıdır. Elemanları birebir aynı olan iki küme eşit kümedir: A = B.

Matematikte sık kullanılan sayı kümelerinin adları ve gösterimleri şöyledir:

MEB gösteriminde N sıfırı içerir. «Sıfırdan farklı» denmeden doğal sayı denince 0’ı da düşünün; bu, küme problemlerinde eleman sayısını bir değiştirebilir.

Örnek. B = {x | x ∈ Z, −2 ≤ x < 3} kümesini yazın. Bu kümede kaç tane negatif eleman vardır?

• Tam sayılardan −2, −1, 0, 1, 2 alınır; 3 üst sınır olduğu için dahil değildir.
• B = {−2, −1, 0, 1, 2}; s(B) = 5.
• Negatif olanlar −2 ve −1’dir.

CevapB = {−2, −1, 0, 1, 2} · 2 negatif eleman

Alt küme, öz alt küme ve kuvvet kümesi

A kümesinin her elemanı B kümesinde de varsa A, B’nin alt kümesidir ve A ⊂ B yazılır. Bu sayfada ⊂ işareti, eşitliğe de izin veren alt küme anlamındadır; yani her A için A ⊂ A doğrudur. Boş küme her kümenin alt kümesidir: ∅ ⊂ A.

A ⊂ B iken A ≠ B ise A’ya B’nin öz alt kümesi denir. Öz alt küme, kümenin kendisi hariç bütün alt kümelerdir. Bir kümenin bütün alt kümelerinden oluşan kümeye kuvvet kümesi denir ve P(A) yazılır.

Alt küme sayısıs(A) = n ise A’nın alt küme sayısı 2ⁿ · öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1 · s(P(A)) = 2ⁿ

Her elemanın alt kümede «var» ya da «yok» olmak üzere iki seçeneği vardır. n eleman için bu seçim 2 × 2 × … × 2 = 2ⁿ kez yapıldığından alt küme sayısı 2ⁿ olur.

Örnek. B = {1, 2, 3} kümesinin bütün alt kümelerini yazın. Kaç tane vardır, kaç tanesi öz alt kümedir?

• Elemansız: ∅
• Tek elemanlı: {1}, {2}, {3}
• İki elemanlı: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
• Üç elemanlı: {1, 2, 3}
• Toplam 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³. Kendisi hariç 8 − 1 = 7 öz alt küme vardır.

Cevap8 alt küme · 7 öz alt küme

∈ işareti eleman ile küme arasında, ⊂ işareti küme ile küme arasında kullanılır. 2 ∈ {1, 2, 3} doğru, {2} ⊂ {1, 2, 3} doğru; ama 2 ⊂ {1, 2, 3} ve {2} ∈ {1, 2, 3} yanlıştır.

Birleşim, kesişim, fark ve tümleyen

Kümeler üzerinde dört temel işlem vardır. Aşağıdaki tablo bunları özetler.

Örnek. E = {1, 2, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8, 10} iken A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A′ ve B′ kümelerini bulun.

• A ∪ B: iki kümedeki bütün elemanlar, tekrarsız → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
• A ∩ B: ortak elemanlar → {2, 4, 6}
• A \ B: A’dan B’dekileri at → {1, 3, 5}
• B \ A: B’den A’dakileri at → {8, 10}
• A′: E’de olup A’da olmayanlar → {7, 8, 9, 10}
• B′ → {1, 3, 5, 7, 9}

CevapA ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} · A ∩ B = {2, 4, 6} · A \ B = {1, 3, 5} · B \ A = {8, 10} · A′ = {7, 8, 9, 10} · B′ = {1, 3, 5, 7, 9}

Tümleyenin birleşim ve kesişimle ilişkisini De Morgan kuralları verir. Mantıktaki De Morgan kurallarının küme dilindeki karşılığıdır:

De Morgan(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ · (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ · A \ B = A ∩ B′ · (A′)′ = A

Yukarıdaki örnekte (A ∪ B)′ = {7, 9} bulunur. A′ ∩ B′ = {7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9} = {7, 9} olur; iki sonuç aynıdır. Böylece kural bu örnekte doğrulanmış olur.

• A ∪ E = E ve A ∩ E = A
• A ∪ ∅ = A ve A ∩ ∅ = ∅
• A ∪ A′ = E ve A ∩ A′ = ∅
• A ⊂ B ise A ∪ B = B ve A ∩ B = A

Eleman sayısı ve küme problemleri

İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulurken s(A) ile s(B)’yi toplarsak ortak elemanlar iki kez sayılır. Bu yüzden bir kez çıkarılmalıdır:

Birleşimin eleman sayısıs(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B) · ayrık kümelerde s(A ∪ B) = s(A) + s(B)

• s(A \ B) = s(A) − s(A ∩ B)
• s(A′) = s(E) − s(A)
• Yalnız A’da olan eleman sayısı s(A \ B) olur; yalnız B’de olan s(B \ A)
• En az birinde olanlar s(A ∪ B); hiçbirinde olmayanlar s(E) − s(A ∪ B)

Örnek. Bir sınıfta 40 öğrenci vardır. 25’i futbol, 18’i basketbol oynuyor, 5’i hiçbirini oynamıyor. Her iki sporu da oynayan kaç öğrenci vardır? Yalnız futbol oynayan kaç kişi vardır?

• En az bir spor oynayan: 40 − 5 = 35 öğrenci, yani s(F ∪ B) = 35.
• 35 = 25 + 18 − s(F ∩ B) → s(F ∩ B) = 43 − 35 = 8.
• Yalnız futbol: s(F \ B) = 25 − 8 = 17.
• Kontrol: yalnız futbol 17 + ikisi 8 + yalnız basketbol 10 = 35 ✓.

Cevapİkisini de oynayan 8 · yalnız futbol oynayan 17

Örnek. s(A) = 12, s(B) = 9 ve s(A ∩ B) = 4 ise s(A ∪ B) ve s(A \ B) kaçtır?

• s(A ∪ B) = 12 + 9 − 4 = 17
• s(A \ B) = 12 − 4 = 8
• Kontrol: s(A \ B) + s(A ∩ B) + s(B \ A) = 8 + 4 + 5 = 17 ✓ (s(B \ A) = 9 − 4 = 5).

Cevaps(A ∪ B) = 17 · s(A \ B) = 8

Küme problemlerinde en güvenli yol Venn şemasıdır: önce iki kümenin ortak bölgesine yazılır, sonra yalnız bir kümede olan bölgeler doldurulur, en son kümelerin dışında kalanlar hesaplanır. Verilen sayıların çoğu «toplam» sayıdır ve ortak bölgeyi de içerir; bu yüzden ortak bölge yazılmadan o sayılar bölgelere aktarılmamalıdır.