Mantık

Önerme ve doğruluk değeri

Matematikte mantık, bir cümlenin doğru mu yanlış mı olduğunu kesin olarak söyleyebilmek için kurulan dildir. Bu dilin en küçük parçası önermedir.

Önerme, kesin olarak doğru ya da kesin olarak yanlış olan bir hüküm bildiren ifadedir. Önermeler p, q, r gibi küçük harflerle gösterilir. Doğru önermenin doğruluk değeri 1, yanlış önermeninki 0 yazılır.

KısayolCevabı kişiden kişiye değişmeyen «doğru mu, yanlış mı?» sorusu sorulabiliyorsa önermedir. Yanlış bir cümle de önermedir; önemli olan kesin bir değerinin olması.

«x + 3 = 5» gibi değişken içeren ifadeler de x bilinmeden önerme sayılmaz; bunlara aşağıda açık önerme diyeceğiz.

Değil ve denk önermeler

Bir önermenin hükmünü tersine çevirerek elde edilen önermeye onun değili denir. p önermesinin değili p′ diye yazılır ve «p değil» diye okunur. p doğruysa p′ yanlış, p yanlışsa p′ doğrudur.

Örnek. p: «5 > 3» önermesinin değilini yazın ve doğruluk değerini bulun.

• «Büyüktür»ün tersi «küçüktür» değil, «küçük ya da eşittir»dir: 5 ya 3’ten büyüktür ya da değildir.
• p′: «5 ≤ 3»
• p doğru olduğu için p′ yanlıştır.

Cevapp′: 5 ≤ 3 ve p′ ≡ 0

Bir önermenin değilinin değili kendisidir: (p′)′ ≡ p. Doğruluk değerleri her durumda aynı olan iki önermeye denk önermeler denir ve p ≡ q yazılır.

Bileşik önermeler: ve, veya

İki önerme bağlaçlarla birleştirilince bileşik önerme oluşur. En sık kullanılan iki bağlaç «ve» (∧) ile «veya»dır (∨).

• p ∧ q yalnız iki önerme de doğruysa doğrudur.
• p ∨ q en az biri doğruysa doğrudur; yalnız ikisi de yanlışsa yanlıştır.

Örnek. p: «2 bir asal sayıdır», q: «9 bir asal sayıdır». p ∧ q ve p ∨ q önermelerinin doğruluk değerlerini bulun.

• 2 asaldır → p ≡ 1. 9 = 3 · 3 olduğu için asal değildir → q ≡ 0.
• p ∧ q ≡ 1 ∧ 0 ≡ 0
• p ∨ q ≡ 1 ∨ 0 ≡ 1

Cevapp ∧ q ≡ 0 · p ∨ q ≡ 1

Bileşik önermenin değili alınırken bağlaç da değişir. Buna De Morgan kuralı denir:

De Morgan(p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′ · (p ∨ q)′ ≡ p′ ∧ q′

Koşullu önerme: ise

«p ise q» biçimindeki önermeye koşullu önerme denir ve p ⇒ q yazılır. p’ye hipotez (öncül), q’ya hüküm (sonuç) denir.

Kısayolp ⇒ q yalnız bir durumda yanlıştır: p doğru, q yanlışken (1 ⇒ 0). Öncül yanlışsa koşullu önerme her zaman doğrudur.

Bir söz gibi düşünün: «Sınavdan 100 alırsan (p) sana bisiklet alacağım (q).» Söz yalnız 100 aldığınız hâlde bisiklet gelmezse bozulur. 100 alamadıysanız ne olursa olsun söz bozulmuş sayılmaz.

Koşullu önerme «veya» ile de yazılabilir: p ⇒ q ≡ p′ ∨ q. Değili de buradan çıkar: (p ⇒ q)′ ≡ p ∧ q′.

«p ancak ve ancak q» önermesine iki yönlü koşullu önerme denir, p ⇔ q yazılır. İki önerme aynı değerdeyse doğrudur: p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

Örnek. p ≡ 1, q ≡ 0, r ≡ 1 iken (p ⇒ q) ∨ r önermesinin doğruluk değerini bulun.

• Önce parantez: p ⇒ q ≡ 1 ⇒ 0 ≡ 0
• Sonra veya: 0 ∨ r ≡ 0 ∨ 1 ≡ 1

Cevap(p ⇒ q) ∨ r ≡ 1

Bileşenlerin değeri ne olursa olsun her zaman doğru olan bileşik önermeye totoloji, her zaman yanlış olana çelişki denir. p ∨ p′ bir totoloji, p ∧ p′ bir çelişkidir.

Açık önerme ve niceleyiciler

İçinde değişken bulunan ve değişkene verilen değere göre doğru ya da yanlış olan ifadeye açık önerme denir. p(x) diye yazılır. Önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine doğruluk kümesi denir.

Örnek. Doğal sayılarda p(x): «x + 2 < 6» açık önermesinin doğruluk kümesini bulun.

• x + 2 < 6 ise x < 4.
• 4’ten küçük doğal sayılar: 0, 1, 2, 3.

CevapDoğruluk kümesi {0, 1, 2, 3}

Açık önermenin başına «her» ya da «bazı» getirilince yeniden kesin bir önerme olur. Bu sözcüklere niceleyici denir.

Kısayol(∀x, p(x))′ ≡ ∃x, p′(x) · (∃x, p(x))′ ≡ ∀x, p′(x) — niceleyici de hüküm de değişir.

Örnek. «Her doğal sayı çifttir.» önermesinin değilini yazın.

• «Her» → «bazı».
• «çifttir» → «çift değildir».

Cevap«Bazı doğal sayılar çift değildir.» (Önerme yanlış, değili doğru: 3 çift değil.)

Son olarak dört terim: tanım bir kavramın ne olduğunu söyler; aksiyom ispatsız doğru kabul edilen önermedir; teorem doğruluğu ispatlanabilen önermedir; ispat ise teoremin doğruluğunu mantık kurallarıyla gösterme işidir.